Нахождение первообразной. Калькулятор онлайн.Вычислить неопределенный интеграл (первообразную)

Ранее мы по заданной функции, руководствуясь различными формулами и правилами, находили ее производную. Производная имеет многочисленные применения: это скорость движения (или, обобщая, скорость протекания любого процесса); угловой коэффициент касательной к графику функции; с помощью производной можно исследовать функцию на монотонность и экстремумы; она помогает решать задачи на оптимизацию.

Но наряду с задачей о нахождении скорости по известному закону движения встречается и обратная задача - задача о восстановлении закона движения по известной скорости. Рассмотрим одну из таких задач.

Пример 1. По прямой движется материальная точка, скорость ее движения в момент времени t задается формулой v=gt. Найти закон движения.
Решение. Пусть s = s(t) - искомый закон движения. Известно, что s"(t) = v(t). Значит, для решения задачи нужно подобрать функцию s = s(t), производная которой равна gt. Нетрудно догадаться, что $s(t) = \frac{gt^2}{2} $. В самом деле
$s"(t) = \left(\frac{gt^2}{2} \right)" = \frac{g}{2}(t^2)" = \frac{g}{2} \cdot 2t = gt $
Ответ: $s(t) = \frac{gt^2}{2} $

Сразу заметим, что пример решен верно, но неполно. Мы получили $s(t) = \frac{gt^2}{2} $. На самом деле задача имеет бесконечно много решений: любая функция вида $s(t) = \frac{gt^2}{2} + C $, где C - произвольная константа, может служить законом движения, поскольку $\left(\frac{gt^2}{2} +C \right)" = gt $

Чтобы задача стала более определенной, нам надо было зафиксировать исходную ситуацию: указать координату движущейся точки в какой-либо момент времени, например при t = 0. Если, скажем, s(0) = s 0 , то из равенства s(t) = (gt 2)/2 + C получаем: s(0) = 0 + С, т. е. C = s 0 . Теперь закон движения определен однозначно: s(t) = (gt 2)/2 + s 0 .

В математике взаимно обратным операциям присваивают разные названия, придумывают специальные обозначения, например: возведение в квадрат (х 2) и извлечение квадратного корня ($\sqrt{x} $), синус (sin x) и арксинус (arcsin x) и т. д. Процесс нахождения производной по заданной функции называют дифференцированием , а обратную операцию, т. е. процесс нахождения функции по заданной производной, - интегрированием .

Сам термин «производная» можно обосновать «по-житейски»: функция у = f(x) «производит на свет» новую функцию у" = f"(x). Функция у = f(x) выступает как бы в качестве «родителя», но математики, естественно, не называют ее «родителем» или «производителем», они говорят, что это, по отношению к функции у" = f"(x), первичный образ, или первообразная.

Определение. Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке X, если для $x \in X $ выполняется равенство F"(x) = f(x)

На практике промежуток X обычно не указывают, но подразумевают (в качестве естественной области определения функции).

Приведем примеры.
1) Функция у = х 2 является первообразной для функции у = 2х, поскольку для любого х справедливо равенство (x 2)" = 2х
2) Функция у = х 3 является первообразной для функции у = 3х 2 , поскольку для любого х справедливо равенство (x 3)" = 3х 2
3) Функция у = sin(x) является первообразной для функции y = cos(x), поскольку для любого x справедливо равенство (sin(x))" = cos(x)

При нахождении первообразных, как и производных, используются не только формулы, но и некоторые правила. Они непосредственно связаны с соответствующими правилами вычисления производных.

Мы знаем, что производная суммы равна сумме производных. Это правило порождает соответствующее правило нахождения первообразных.

Правило 1. Первообразная суммы равна сумме первообразных.

Мы знаем, что постоянный множитель можно вынести за знак производной. Это правило порождает соответствующее правило нахождения первообразных.

Правило 2. Если F(x) - первообразная для f(x), то kF(x) - первообразная для kf(x).

Теорема 1. Если y = F(x) - первообразная для функции y = f(x), то первообразной для функции у = f(kx + m) служит функция $y=\frac{1}{k}F(kx+m) $

Теорема 2. Если y = F(x) - первообразная для функции y = f(x) на промежутке X, то у функции у = f(x) бесконечно много первообразных, и все они имеют вид y = F(x) + C.

Методы интегрирования

Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется вычислить интеграл $\textstyle \int F(x)dx $. Сделаем подстановку $x= \varphi(t) $ где $\varphi(t) $ - функция, имеющая непрерывную производную.
Тогда $dx = \varphi " (t) \cdot dt $ и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:
$\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt $

Интегрирование выражений вида $\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx $

Если m нечётное, m > 0, то удобнее сделать подстановку sin x = t.
Если n нечётное, n > 0, то удобнее сделать подстановку cos x = t.
Если n и m чётные, то удобнее сделать подстановку tg x = t.

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям - применение следующей формулы для интегрирования:
$\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du $
или:
$\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx $

Таблица неопределённых интегралов (первообразных) некоторых функций

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\cos^2 x} = \text{tg} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\text{ctg} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \text{arcsin} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{1+x^2} = \text{arctg} x +C $$ $$ \int \text{ch} x dx = \text{sh} x +C $$ $$ \int \text{sh} x dx = \text{ch} x +C $$

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x) , что выполняется равенство для любогох из заданного промежутка.

Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство. Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C , для произвольной константы С , причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Определение неопределенного интеграла.

Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается .

Выражение называютподынтегральным выражением , а f(x) – подынтегральной функцией . Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x) .

Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x) , а множество ее первообразных F(x)+C .

Геометрический смысл неопределенного интеграла. График первообразной Д(х) называют интегральной кривой. В системе координат х0у графики всех первообразных от данной функции представляют семейство кривых, зависящих от величины постоянной С и получаемых одна из другой путем параллельного сдвига вдоль оси 0у. Для примера, рассмотренного выше, имеем:

J 2 х^х = х2 + C.

Семейство первообразных (х + С) геометрически интерпретируется совокупностью парабол.

Если из семейства первообразных нужно найти одну, то задают дополнительные условия, позволяющие определить постоянную С. Обычно с этой целью задают начальные условия: при значении аргумента х = х0 функция имеет значение Д(х0) = у0.

Пример. Требуется найти ту из первообразных функции у = 2 х, которая принимает значение 3 при х0 = 1.

Искомая первообразная: Д(х) = х2 + 2.

Решение. ^2х^х = х2 + C; 12 + С = 3; С = 2.

2. Основные свойства неопределенного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла равна подинтегральной функции:

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению:

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме самой этой функции и произвольной постоянной:

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

5. Интеграл суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов:

6. Свойство является комбинацией свойств 4 и 5:

7. Свойство инвариантности неопределенного интеграла:

Если , то

8. Свойство:

Если , то

Фактически данное свойство представляет собой частный случай интегрирования при помощи метода замены переменной, который более подробно рассмотрен в следующем разделе.

Рассмотрим пример:

3. Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием . При сведении данного интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала (операция «подведения под знак дифференциала »):

Вообще, f’(u)du = d(f(u)). эта (формула очень часто используется при вычислении интегралов.

Найти интеграл

Решение. Воспользуемся свойствами интегралаи приведем данный интеграл к нескольким табличным.

4. Интегрирование методом подстановки.

Суть метода заключается в том, что мы вводим новую переменную, выражаем подынтегральную функцию через эту переменную, в результате приходим к табличному (или более простому) виду интеграла.

Очень часто метод подстановки выручает при интегрировании тригонометрических функций и функций с радикалами.

Пример.

Найти неопределенный интеграл .

Решение.

Введем новую переменную . Выразимх через z :

Выполняем подстановку полученных выражений в исходный интеграл:

Из таблицы первообразных имеем .

Осталось вернуться к исходной переменной х :

Ответ:

Определение. Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на данном промежутке, если для любого х из данного промежутка F"(x)= f (x).

Основное свойство первообразных.

Если F (x) – первообразная функции f (x), то и функция F (x)+ C , где C –произвольная постоянная, также является первообразной функции f (x) (т.е. все первообразные функции f(x) записываются в виде F(x) + С).

Геометрическая интерпретация.

Графики всех первообразных данной функции f (x) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси Оу.

Таблица первообразных.

Правила нахождения первообразных .

Пусть F(x) и G(x) – первообразные соответственно функций f(x) и g(x). Тогда:

1. F ( x ) ± G ( x ) – первообразная для f ( x ) ± g ( x );

2. а F ( x ) – первообразная для а f ( x );

3. – первообразная для а f ( kx + b ).

Задачи и тесты по теме "Первообразная"

Первообразная
Уроков: 1 Заданий: 11 Тестов: 1
Производная и первообразная - Подготовка к ЕГЭ по математике ЕГЭ по математике
Заданий: 3
Интеграл - Первообразная и интеграл 11 класс
Уроков: 4 Заданий: 13 Тестов: 1
Вычисление площадей с помощью интегралов - Первообразная и интеграл 11 класс
Уроков: 1 Заданий: 10 Тестов: 1

Изучив данную тему, Вы должны знать, что называется первообразной, ее основное свойство, геометрическую интерпретацию, правила нахождения первообразных; уметь находить все первообразные функций с помощью таблицы и правил нахождения первообразных, а также первообразную, проходящую через заданную точку. Рассмотрим решение задач по данной теме на примерах. Обратите внимание на оформление решений.

Примеры.

1. Выяснить, является ли функция F (x ) = х 3 – 3х + 1 первообразной для функции f (x ) = 3(х 2 – 1).

Решение: F"(x ) = (х 3 – 3х + 1)′ = 3х 2 – 3 = 3(х 2 – 1) = f (x ), т.е. F"(x ) = f (x ), следовательно, F(x)является первообразной для функции f(x).

2. Найти все первообразные функции f(x) :

а) f (x ) = х 4 + 3х 2 + 5

Решение: Используя таблицу и правила нахождения первообразных, получим:

Ответ:

б) f (x ) = sin(3x – 2)

Решение:

Решение интегралов - задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл... Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы? Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись.

Изучаем понятие "интеграл"

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц , но суть вещей не изменилась. Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о , необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x) .

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x) , производная которой равна функции f(x) .

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции. Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции?

С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

Бари Алибасов и группа "Интеграл"

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решать неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

Константу можно выносить из-под знака интеграла:

Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

Линейность:

Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

При любых точках a , b и с :

Мы уже выяснили, что определенный интеграл - это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим несколько примеров нахождения неопределенных интегралов. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Мы убедились в том, что производная имеет многочисленные применения: производная - это скорость движения (или, обобщая, скорость протекания любого процесса); производная - это угловой коэффициент касательной к графику функции; с помощью производной можно исследовать функцию на монотонность и экстремумы; производная помогает решать задачи на оптимизацию.

Но в реальной жизни приходится решать и обратные задачи: например, наряду с задачей об отыскании скорости по известному закону движения встречается и задача о восстановлении закона движения по известной скорости. Рассмотрим одну из таких задач.

Пример 1. По прямой движется материальная точка, скорость ее движения в момент времени t задается формулой u = tg. Найти закон движения.

Решение. Пусть s = s(t) - искомый закон движения. Известно, что s"(t) = u"(t). Значит, для решения задачи нужно подобрать функцию s = s(t), производная которой равна tg. Нетрудно догадаться, что

Сразу заметим, что пример решен верно, но неполно. Мы получили, что На самом деле, задача имеет бесконечно много решений: любая функция вида произвольная константа, может служить законом движения, поскольку

Чтобы задача стала более определенной, нам надо было зафиксировать исходную ситуацию: указать координату движущейся точки в какой-либо момент времени, например, при t=0. Если, скажем, s(0) = s 0 , то из равенства получаем s(0) = 0+С, т.е.S 0 = С. Теперь закон движения определен однозначно:
В математике взаимно обратным операциям присваивают разные названия, придумывают специальные обозначения: например, возведение в квадрат (х 2) и извлечение квадратного корня синус(sinх) и арксинус (аrcsin х) и т.д. Процесс отыскания производной по заданной функции называют дифференцированием, а обратную операцию, т.е. процесс отыскания функции по заданной производной - интегрированием.
Сам термин «производная» можно обосновать «по-житейски»: функция у - f(х) «производит на свет» новую функцию у"= f"(x) Функция у = f(х) выступает как бы в качестве «родителя», но математики, естественно, не называют ее «родителем» или «производителем», они говорят, что это, по отношению к функции у"=f"(х), первичный образ, или, короче, первообразная.

Определение 1. Функцию у = F(х) называют первообразной для функции у = f(х) на заданном промежутке X, если для всех х из X выполняется равенство F"(х)=f(х).

Приведем примеры:

1) Функция у = х 2 является первообразной для функции у = 2х, поскольку для всех х справедливо равенство (х 2)" =2х.
2) функция у - х 3 является первообразной для функции у-Зх 2 , поскольку для всех х справедливо равенство (х 3)" = Зх 2 .
3) Функция у-sinх является первообразной для функции у=соsх, поскольку для всех х справедливо равенство (sinх)" =соsх.
4) Функция являетя первообразной для функции на промежутке поскольку для всех х > 0 справедливо равенство
Вообще, зная формулы для отыскания производных, нетрудно составить таблицу формул для отыскания первообразных.

Надеемся, вы поняли, как составлена эта таблица: производная функции, которая записана во втором столбце, равна той функции, которая записана в соответствующей строке первого столбца (проверьте, не поленитесь, это очень полезно). Например, для функции у = х 5 первообразной, как вы установите, служит функция (см. четвертую строку таблицы).

Замечания: 1. Ниже мы докажем теорему о том, что если у = F(х) - первообразная для функции у = f(х), то у функции у = f(х)бесконечно много первообразных и все они имеют вид у = F(х) + С. Поэтому правильней было бы во втором столбце таблицы всюду добавить слагаемое С, где С - произвольное действительное число.
2. Ради краткости иногда вместо фразы «функция у = F(х) является первообразной для функции y = f(x)», говорят F(х) - первообразная для f(x)».

2. Правила отыскания первообразных

При отыскании первообразных, как и при отыскании производных, используются не только формулы (они указаны в таблице на с. 196), но и некоторые правила. Они непосредственно связаны с соответствующими правилами вычисления производных.

Мы знаем, что производная суммы равна сумме производных. Это правило порождает соответствующее правило отыскания первообразных.

Правило 1. Первообразная суммы равна сумме первообразных.

Обращаем ваше внимание на некоторую «легковесность» этой формулировки. На самом деле следовало бы сформулировать теорему: если функции у = f(х) и у=g{х) имеют на промежутке X первообразные, соответственно у-F(х) и у-G(х), то и сумма функций у = f(х)+g(х) имеет на промежутке X первообразную, причем этой первообразной является функция у = F(х)+G(х). Но обычно, формулируя правила (а не теоремы), оставляют только ключевые слова - так удобнее для применения правила на практике

Пример 2. Найти первообразную для функции у = 2х + соз х.

Решение. Первообразной для 2х служит х"; первообразной для созх служит sin х. Значит, первообразной для функции у=2х + соз х будет служить функция у = х 2 + sin х (и вообще любая функция вида У = х 1 + sinх + С).
Мы знаем, что постоянный множитель можно вынести за знак производной. Это правило порождает соответствующее правило отыскания первообразных.

Правило 2. Постоянный множитель можно вынести за знак первообразной.

Пример 3.

Ре ш е н и е. а) Первообразной для sin х служит -соз х; значит, для функции у = 5 sin х первообразной будет функция у = -5соз х.

б) Первообразной для соз x служит sin x; значит, для функции первообразной будет функция
в) Первообразной для х 3 служит первообразной для х служит первообразной для функции у = 1 служит функция у = х. Используя первое и второе правила отыскания первообразных, получим, что первообразной для функции у = 12х 3 + 8х-1 служит функция
Замечание. Как известно, производная произведения не равна произведению производных (правило дифференцирования произведения более сложное) и производная частного не равна частному от производных. Поэтому нет и правил для отыскания первообразной от произведения или первообразной от частного двух функций. Будьте внимательны!
Получим еще одно правило отыскания первообразных. Мы знаем, что производная функции у = f(кх+m) вычисляется по формуле

Это правило порождает соответствующее правило отыскания первообразных.
Правило 3. Если у = F(х) - первообразная для функции у = f(х), то первообразной для функции у=f(кх+m) служит функция

В самом деле,

Это и означает, что является первообразной для функции у = f(кх+m).
Смысл третьего правила заключается в следующем. Если вы знаете, что первообразной для функции у = f(х) является функция у = F(х),а.вам нужно найти первообразную функции у = f(кх+m), то действуйте так: берите ту же самую функцию F, но вместо аргумента х подставьте выражение кх+m; кроме того, не забудьте перед знаком функции записать «поправочный множитель»
Пример 4. Найти первообразные для заданных функций:

Решение , а) Первообразной для sin х служит -соз х; значит, для функции у = sin2х первообразной будет функция
б) Первообразной для соз х служит sin х; значит, для функции первообразной будет функция

в) Первообразной для х 7 служит значит, для функции у=(4-5х) 7 первообразной будет функция

3. Неопределенный интеграл

Выше мы уже отмечали, что задача отыскания первообразной для заданной функции у = f(х)имеет не одно решение. Обсудим этот вопрос более детально.

Доказательство. 1. Пусть у = F(х) - первообразная для функции у = f(х) на промежутке X. Это значит, что для всех х из X выполняется равенство x"(х) = f(х). Найдем производную любой функции вида у = F(х)+С:
(F(х) +С) = F"(х) +С = f(x) +0 = f(x).

Итак, (F(х)+С) = f(х). Это значит, что у = F(х) +С является первообразной для функции у = f(х).
Таким образом, мы доказали, что если у функции у = f(х) есть первообразная у=F(х), то у функции {f = f(x) бесконечно много первообразных, например, любая функция вида у = F(х)+С является первообразной.
2. Докажем теперь, что указанным видом функций исчерпывается все множество первообразных.

Пусть у=F 1 (х) и у=F(х) - две первообразные для функции У = f(x)на промежутке X. Это значит, что для всех х из промежутка X выполняются соотношения: F^ (х) = f(х); F"(х) = f(х).

Рaсмотрим функцию у = F 1 (х) -.F(х) и найдем ее производную: (F, (х) -F(х))" = F[(х)-F(х) = f(х) - f(х) = 0.
Известно, что если производная функции на промежутке X тождественно равна нулю, то функция постоянна на промежутке X (см. теорему 3 из § 35). Значит, F 1 (х)-F(х) =С, т.е. Fх) = F(х)+С.

Теорема доказана.

Пример 5. Задан закон изменения скорости от времени v = -5sin2t. Найти закон движения s = s(t), если известно, что в момент времени t=0 координата точки равнялась числу 1,5 (т.е. s(t) = 1,5).

Решение. Так как скорость - производная координаты как функции от времени, то нам прежде всего нужно найти первообразную от скорости, т.е. первообразную для функции v = -5sin2t. Одной из таких первообразных является функция , а множество всех первообразных имеет вид:

Чтобы найти конкретное значение постоянной С, воспользуемся начальными условиями, согласно которым, s(0) = 1,5. Подставив в формулу (1) значения t=0, S = 1,5, получим:

Подставив найденное значение С в формулу (1), получим интересующий нас закон движения:

Определение 2. Если функция у = f(х) имеет на промежутке X первообразную у = F(х), то множество всех первообразных, т.е. множество функций вида у = F(х) + С, называют неопределенным интегралом от функции у = f(x) и обозначают:

(читают: «неопределенный интеграл эф от икс дэ икс»).
В следующем параграфе мы выясним, в чем состоит скрытый смысл указанного обозначения.
Опираясь на имеющуюся в этом параграфе таблицу первообразных, составим таблицу основных неопределенных интегралов:

Опираясь на приведенные выше три правила отыскания первообразных, мы можем сформулировать соответствующие правила интегрирования.

Правило 1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов этих функций:

Правило 2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:

Правило 3. Если

Пример 6. Найти неопределенные интегралы:

Решение , а) Воспользовавшись первым и вторым правилами интегрирования, получим:

Теперь воспользуемся 3-й и 4-й формулами интегрирования:

В итоге получаем:

б) Воспользовавшись третьим правилом интегрирования и формулой 8, получим:

в) Для непосредственного нахождения заданного интеграла у нас нет ни соответствующей формулы, ни соответствующего правила. В подобных случаях иногда помогают предварительно выполненные тождественные преобразования выражения, содержащегося под знаком интеграла.

Воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени:

Тогда последовательно находим:

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе