Дискриминант примеры. Квадратные уравнения

Дискриминант — многозначный термин. В данной статье речь пойдёт о дискриминанте многочлена, который позволяет определить, есть ли у данного многочлена действительные решения. Формула для квадратного многочлена встречается в школьном курсе алгебры и анализа. Как найти дискриминант? Что нужно для решения уравнения?

Квадратным многочленом или уравнением второй степени называется i * w ^ 2 + j * w + k равный 0, где «i» и «j» — первый и второй коэффициент соответственно, «k» — константа, которую иногда именуют «свободным членом», а «w» — переменная. Его корнями окажутся все значения переменной, при которых оно превращается в тождество. Такое равенство допустимо переписать, как произведение i, (w — w1) и (w — w2) равное 0. В этом случае очевидно, что если коэффициент «i» не обращается в ноль, то функция в левой части станет нулевой только в случае, если x принимает значение w1 или w2. Эти значения являются результатом приравнивания многочлена к нулю.

Для нахождения значения переменной, при котором квадратный многочлен обращается в ноль, используется вспомогательная конструкция, построенная на его коэффициентах и названная дискриминантом. Эта конструкция рассчитывается согласно формуле D равняется j * j — 4 * i * k. Зачем она используется?

1. Она говорит, имеются ли действительные результаты.
2. Она помогает их высчитать.

Как это значение показывает наличие вещественных корней:

• Если оно положительное, то можно найти два корня в области действительных чисел.
• Если дискриминант равен нулю, то оба решения совпадают. Можно сказать, что есть всего одно решение, и оно из области вещественных чисел.
• Если дискриминант меньше нуля, то у многочлена отсутствуют вещественные корни.

Варианты расчётов для закрепления материала

Для суммы {7 * w ^ 2; 3 * w; 1} равной 0 рассчитываем D по формуле 3 * 3 — 4 * 7 * 1 = 9 — 28 получаем -19. Значение дискриминанта ниже нуля говорит об отсутствии результатов на действительной прямой.

Если рассмотреть 2 * w ^ 2 — 3 * w + 1 эквивалентный 0 , то D рассчитывается как (-3) в квадрате за вычетом произведения чисел {4; 2; 1} и равняется 9 — 8, то есть 1. Положительное значение говорит о двух результатах на вещественной прямой.

Если взять сумму {w ^ 2; 2 * w; 1} и прировнять к 0 , D рассчитается, как два в квадрате минус произведение чисел {4; 1; 1}. Это выражение упростится до 4 — 4 и обратится в ноль. Выходит, что результаты совпадают. Если внимательно вглядеться в данную формулу, то станет понятно, что это «полный квадрат». Значит, равенство можно переписать в форме (w + 1) ^ 2 = 0. Стало очевидно, что результат в этой задаче «-1». В ситуации если D равен 0, левую часть равенства всегда получится свернуть по формуле «квадрат суммы».

Использование дискриминанта в вычислении корней

Эта вспомогательная конструкция не только показывает количество вещественных решений, но и помогает их находить. Общая формула расчёта для уравнения второй степени такова:

w = (-j +/- d) / (2 * i), где d — дискриминант в степени 1/2.

Допустим, дискриминант ниже нулевой отметки, тогда d — мнимо и результаты мнимые.

D нулевой, тогда d, равный D в степени 1/2, тоже нулевой. Решение: -j / (2 * i). Снова рассматриваем 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, находим результаты эквивалентные -2 / (2 * 1) = -1.

Предположим, D > 0, значит, d — вещественное число, и ответ здесь распадается на две части: w1 = (-j + d) / (2 * i) и w2 = (-j — d) / (2 * i). Оба результата окажутся действительные. Взглянем на 2 * w ^ 2 — 3 * w + 1 = 0. Здесь дискриминант и d — единицы. Выходит, w1 равняется (3 + 1) делить (2 * 2) или 1, а w2 равен (3 — 1) делить на 2 * 2 или 1/2.

Результат приравнивания квадратного выражения к нулю вычисляется согласно алгоритму:

1. Определение количества действительных решений.
2. Вычисление d = D ^ (1/2).
3. Нахождение результата в соответствии с формулой (-j +/- d) / (2 * i).
4. Подстановка полученного результата в исходное равенство для проверки.

Некоторые частные случаи

В зависимости от коэффициентов решение может несколько упрощаться. Очевидно, что если коэффициент перед переменной во второй степени равен нулю, то получается линейное равенство. Когда коэффициент перед переменной в первой степени нулевой, то возможны два варианта:

1. многочлен раскладывается в разность квадратов при отрицательном свободном члене;
2. при положительной константе действительных решений найти нельзя.

Если свободный член нулевой, то корни будут {0; -j}

Но есть и другие частные случаи, упрощающие нахождение решения.

Приведенное уравнение второй степени

Приведенным именуют такой квадратный трёхчлен, где коэффициент перед старшим членом — единица. Для данной ситуации применима теорема Виета, гласящая, что сумма корней равняется коэффициенту при переменной в первой степени, помноженному на -1, а произведение соответствует константе «k».

Следовательно, w1 + w2 равно -j и w1 * w2 равняется k, если первый коэффициент - единица. Чтобы убедиться в правильности такого представления, можно выразить из первой формулы w2 = -j — w1 и подставить его во второе равенство w1 * (-j — w1) = k. В итоге получается исходное равенство w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Важно отметить , что i * w ^ 2 + j * w + k = 0 удастся привести путём деления на «i». Результат будет: w ^ 2 + j1 * w + k1 = 0, где j1 равно j / i и k1 равно k / i.

Взглянем на уже решенное 2 * w ^ 2 — 3 * w + 1 = 0 с результатами w1 = 1 и w2 = 1/2. Надо поделить его пополам, в итоге w ^ 2 — 3/2 * w + 1/2 = 0. Проверим, что для найденных результатов справедливы условия теоремы: 1 + 1/2 = 3/2 и 1*1/2 = 1/2.

Чётный второй множитель

Если множитель при переменной в первой степени (j) делится на 2 , то удастся упростить формулу и искать решение через четверть дискриминанта D/4 = (j / 2) ^ 2 — i * k. получается w = (-j +/- d/2) / i, где d/2 = D/4 в степени 1/2.

Если i = 1, а коэффициент j — чётный, то решением будет произведение -1 и половины коэффициента при переменной w, плюс/минус корень из квадрата этой половины за вычетом константы «k». Формула: w = -j / 2 +/- (j ^ 2 / 4 — k) ^ 1/2.

Более высокий порядок дискриминанта

Рассмотренный выше дискриминант трёхчлена второй степени — это наиболее употребимый частный случай. В общем же случае дискриминант многочлена представляет собой перемноженные квадраты разностей корней этого многочлена . Следовательно, дискриминант равный нулю говорит о наличии как минимум двух кратных решений.

Рассмотрим i * w ^ 3 + j * w ^ 2 + k * w + m = 0.

D = j ^ 2 * k ^ 2 — 4 * i * k ^ 3 — 4 * i ^ 3 * k — 27 * i ^ 2 * m ^ 2 + 18 * i * j * k * m.

Допустим, дискриминант превосходит ноль . Это значит, что имеется три корня в области действительных чисел. При нулевом есть кратные решения. Если D < 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

Видео

Наше видео подробно расскажет о вычислении дискриминанта.

Не получили ответ на свой вопрос? Предложите авторам тему.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА XI

§ 253. Извлечение корней квадратных из отрицательных чисел.
Решение квадратных уравнений с отрицательными дискриминантами

Как мы знаем,

i 2 = - 1.

Вместе с тем

(- i ) 2 = (- 1 i ) 2 = (- 1) 2 i 2 = -1.

Таким образом, существуют по крайней мере два значения корня квадратного из - 1, а именно i и - i . Но, может быть, есть еще какие-нибудь комплексные числа, квадраты которых равны - 1?

Чтобы выяснить этот вопрос, предположим, что квадрат комплексного числа а + bi равен - 1. Тогда

(а + bi ) 2 = - 1,

а 2 + 2аbi - b 2 = - 1

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и коэффициенты при мнимых частях. Поэтому

{	а 2 - b 2 = - 1 ab = 0 (1)

Согласно второму уравнению системы (1) хотя бы одно из чисел а и b должно равняться нулю. Если b = 0, то из первого уравнения получается а 2 = - 1. Число а действительное, и поэтому а 2 > 0. Неотрицательное число а 2 не может равняться отрицательному числу - 1. Поэтому равенство b = 0 в данном случае невозможно. Остается признать, что а = 0, но тогда из первого уравнения системы получаем: - b 2 = - 1, b = ± 1.

Следовательно, комплексными числами, квадраты которых равны -1, являются только числа i и -i , Условно это записывается в виде:

√-1 = ± i .

Аналогичными рассуждениями учащиеся могут убедиться в том, что существует ровно два числа, квадраты которых равны отрицательному числу -а . Такими числами являются √a i и -√a i . Условно это записывается так:

√- а = ± √a i .

Под √a здесь подразумевается арифметический, то есть положительный, корень. Например, √4 = 2, √9 =.3; поэтому

√-4 = + 2i , √-9 = ± 3i

Если раньше при рассмотрении квадратных уравнений с отрицательными дискриминантами мы говорили, что такие уравнения не имеют корней, то теперь так говорить уже нельзя. Квадратные уравнения с отрицательными дискриминантами имеют комплексные корни. Эти корни получаются по известным нам формулам. Пусть, например, дано уравнение x 2 + 2х + 5 = 0; тогда

х 1,2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2i .

Итак, данное уравнение имеет два корня: х 1 = - 1 +2i , х 2 = - 1 - 2i . Эти корни являются взаимно сопряженными. Интересно отметить, что сумма их равна - 2, а произведение 5, так что выполняется теорема Виета.

Упражнения

2022. (У с т н о.) Решить уравнения:

а) x 2 = - 16; б) x 2 = - 2; в) 3x 2 = - 5.

2023. Найти все комплексные числа, квадраты которых равны:

а) i ; б) 1 / 2 - √ 3 / 2 i ;

2024. Решить квадратные уравнения:

а) x 2 - 2x + 2 = 0; б) 4x 2 + 4x + 5 = 0; в) x 2 - 14x + 74 = 0.

Решить системы уравнений (№ 2025, 2026):

{	x + y = 6 xy = 45

{	2x - 3y = 1 xy = 1

2027. Доказать, что корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом являются взаимно сопряженными.

2028. Доказать, что теорема Виета верна для любых квадратных уравнений, а не только для уравнений с неотрицательным дискриминантом.

2029. Составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами, корнями которого являются:

a) х 1 = 5 - i , х 2 = 5 + i ; б) х 1 = 3i , х 2 = - 3i .

2030. Составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами, один из корней которого равен (3 - i ) (2i - 4).

2031. Составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами, один из корней которого равен 32 - i
1- 3i .

Поработаем с квадратными уравнениями . Это очень популярные уравнения! В самом общем виде квадратное уравнение выглядит так:

Например:

Здесь а =1; b = 3; c = -4

Здесь а =2; b = -0,5; c = 2,2

Здесь а =-3; b = 6; c = -18

Ну, вы поняли…

Как решать квадратные уравнения? Если перед вами квадратное уравнение именно в таком виде, дальше уже всё просто. Вспоминаем волшебное слово дискриминант . Редкий старшеклассник не слышал этого слова! Фраза «решаем через дискриминант» вселяет уверенность и обнадёживает. Потому что ждать подвохов от дискриминанта не приходится! Он прост и безотказен в обращении. Итак, формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит так:

Выражение под знаком корня – и есть тот самый дискриминант . Как видим, для нахождения икса, мы используем только a, b и с . Т.е. коэффициенты из квадратного уравнения. Просто аккуратно подставляем значения a, b и с в это формулу и считаем. Подставляем со своими знаками! Например, для первого уравнения а =1; b = 3; c = -4. Вот и записываем:

Пример практически решён:

Вот и всё.

Какие случаи возможны при использовании этой формулы? Всего три случая.

1. Дискриминант положительный. Это значит, из него можно извлечь корень. Хорошо корень извлекается, или плохо – вопрос другой. Важно, что извлекается в принципе. Тогда у вашего квадратного уравнения – два корня. Два различных решения.

2. Дискриминант равен нулю. Тогда у вас одно решение. Строго говоря, это не один корень, а два одинаковых . Но это играет роль в неравенствах, там мы поподробнее вопрос изучим.

3. Дискриминант отрицательный. Из отрицательного числа квадратный корень не извлекается. Ну и ладно. Это означает, что решений нет.

Всё очень просто. И что, думаете, ошибиться нельзя? Ну да, как же…
Самые распространённые ошибки – путаница со знаками значений a, b и с . Вернее, не с их знаками (где там путаться?), а с подстановкой отрицательных значений в формулу для вычисления корней. Здесь спасает подробная запись формулы с конкретными числами. Если есть проблемы с вычислениями, так и делайте !

Предположим, надо вот такой примерчик решить:

Здесь a = -6; b = -5; c = -1

Допустим, вы знаете, что ответы у вас редко с первого раза получаются.

Ну и не ленитесь. Написать лишнюю строчку займёт секунд 30. А количество ошибок резко сократится . Вот и пишем подробно, со всеми скобочками и знаками:

Это кажется невероятно трудным, так тщательно расписывать. Но это только кажется. Попробуйте. Ну, или выбирайте. Что лучше, быстро, или правильно? Кроме того, я вас обрадую. Через некоторое время отпадёт нужда так тщательно всё расписывать. Само будет правильно получаться. Особенно, если будете применять практические приёмы, что описаны чуть ниже. Этот злой пример с кучей минусов решится запросто и без ошибок!

Итак, как решать квадратные уравнения через дискриминант мы вспомнили. Или научились, что тоже неплохо. Умеете правильно определять a, b и с . Умеете внимательно подставлять их в формулу корней и внимательно считать результат. Вы поняли, что ключевое слово здесь – внимательно?

Однако частенько квадратные уравнения выглядят слегка иначе. Например, вот так:

Это неполные квадратные уравнения . Их тоже можно решать через дискриминант. Надо только правильно сообразить, чему здесь равняются a, b и с .

Сообразили? В первом примере a = 1; b = -4; а c ? Его вообще нет! Ну да, правильно. В математике это означает, что c = 0 ! Вот и всё. Подставляем в формулу ноль вместо c, и всё у нас получится. Аналогично и со вторым примером. Только ноль у нас здесь не с , а b !

Но неполные квадратные уравнения можно решать гораздо проще. Безо всякого дискриминанта. Рассмотрим первое неполное уравнение. Что там можно сделать в левой части? Можно икс вынести за скобки! Давайте вынесем.

И что из этого? А то, что произведение равняется нулю тогда, и только тогда, когда какой-нибудь из множителей равняется нулю! Не верите? Хорошо, придумайте тогда два ненулевых числа, которые при перемножении ноль дадут!
Не получается? То-то…
Следовательно, можно уверенно записать: х = 0 , или х = 4

Всё. Это и будут корни нашего уравнения. Оба подходят. При подстановке любого из них в исходное уравнение, мы получим верное тождество 0 = 0. Как видите, решение куда проще, чем через дискриминант.

Второе уравнение тоже можно решить просто. Переносим 9 в правую часть. Получим:

Остаётся корень извлечь из 9, и всё. Получится:

Тоже два корня. х = +3 и х = -3 .

Так решаются все неполные квадратные уравнения. Либо с помощью вынесения икса за скобки, либо простым переносом числа вправо с последующим извлечением корня.
Спутать эти приёмы крайне сложно. Просто потому, что в первом случае вам придется корень из икса извлекать, что как-то непонятно, а во втором случае выносить за скобки нечего…

А теперь примите к сведению практические приёмы, которые резко снижают количество ошибок. Тех самых, что из-за невнимательности.… За которые потом бывает больно и обидно…

Приём первый . Не ленитесь перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду. Что это означает?
Допустим, после всяких преобразований вы получили вот такое уравнение:

Не бросайтесь писать формулу корней! Почти наверняка, вы перепутаете коэффициенты a, b и с. Постройте пример правильно. Сначала икс в квадрате, потом без квадрата, потом свободный член. Вот так:

И опять не бросайтесь! Минус перед иксом в квадрате может здорово вас огорчить. Забыть его легко… Избавьтесь от минуса. Как? Да как учили в предыдущей теме! Надо умножить всё уравнение на -1. Получим:

А вот теперь можно смело записывать формулу для корней, считать дискриминант и дорешивать пример. Дорешайте самостоятельно. У вас должны получиться корни 2 и -1.

Приём второй. Проверяйте корни! По теореме Виета. Не пугайтесь, я всё объясню! Проверяем последнее уравнение. Т.е. то, по которому мы записывали формулу корней. Если (как в этом примере) коэффициент а = 1 , проверить корни легко. Достаточно их перемножить. Должен получиться свободный член, т.е. в нашем случае -2. Обратите внимание, не 2, а -2! Свободный член со своим знаком . Если не получилось – значит уже где-то накосячили. Ищите ошибку. Если получилось - надо сложить корни. Последняя и окончательная проверка. Должен получиться коэффициент b с противоположным знаком. В нашем случае -1+2 = +1. А коэффициент b , который перед иксом, равен -1. Значит, всё верно!
Жаль, что это так просто только для примеров, где икс в квадрате чистый, с коэффициентом а = 1. Но хоть в таких уравнениях проверяйте! Всё меньше ошибок будет.

Приём третий . Если в вашем уравнении есть дробные коэффициенты, - избавьтесь от дробей! Домножьте уравнение на общий знаменатель, как описано в предыдущем разделе. При работе с дробями ошибки, почему-то так и лезут…

Кстати, я обещал злой пример с кучей минусов упростить. Пожалуйста! Вот он.

Чтобы не путаться в минусах, домножаем уравнение на -1. Получаем:

Вот и всё! Решать – одно удовольствие!

Итак, подытожим тему.

Практические советы:

1. Перед решением приводим квадратное уравнение к стандартному виду, выстраиваем его правильно .

2. Если перед иксом в квадрате стоит отрицательный коэффициент, ликвидируем его умножением всего уравнения на -1.

3. Если коэффициенты дробные – ликвидируем дроби умножением всего уравнения на соответствующий множитель.

4. Если икс в квадрате – чистый, коэффициент при нём равен единице, решение можно легко проверить по теореме Виета. Делайте это!

Дробные уравнения. ОДЗ.

Продолжаем осваивать уравнения. Мы уже в курсе, как работать с линейными уравнениями и квадратными. Остался последний вид – дробные уравнения . Или их ещё называют гораздо солиднее – дробные рациональные уравнения . Это одно и то же.

Дробные уравнения.

Как ясно из названия, в этих уравнениях обязательно присутствуют дроби. Но не просто дроби, а дроби, у которых есть неизвестное в знаменателе . Хотя бы в одном. Например:

Напомню, если в знаменателях только числа , это линейные уравнения.

Как решать дробные уравнения ? Прежде всего – избавиться от дробей! После этого уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное. А дальше мы знаем, что делать… В некоторых случаях оно может превратиться в тождество, типа 5=5 или неверное выражение, типа 7=2. Но это редко случается. Ниже я про это упомяну.

Но как избавиться от дробей!? Очень просто. Применяя всё те же тождественные преобразования.

Нам надо умножить всё уравнение на одно и то же выражение. Так, чтобы все знаменатели посокращались! Всё сразу станет проще. Поясняю на примере. Пусть нам требуется решить уравнение:

Как учили в младших классах? Переносим все в одну сторону, приводим к общему знаменателю и т.д. Забудьте, как страшный сон! Так нужно делать, когда вы складываете или вычитаете дробные выражения. Или работаете с неравенствами. А в уравнениях мы сразу умножаем обе части на выражение, которое даст нам возможность сократить все знаменатели (т.е., в сущности, на общий знаменатель). И какое же это выражение?

В левой части для сокращения знаменателя требуется умножение на х+2 . А в правой требуется умножение на 2. Значит, уравнение надо умножать на 2(х+2) . Умножаем:

Это обычное умножение дробей, но распишу подробно:

Обратите внимание, я пока не раскрываю скобку (х + 2) ! Так, целиком, её и пишу:

В левой части сокращается целиком (х+2) , а в правой 2. Что и требовалось! После сокращения получаем линейное уравнение:

А это уравнение уже решит всякий! х = 2 .

Решим ещё один пример, чуть посложнее:

Если вспомнить, что 3 = 3/1, а 2х = 2х/ 1, можно записать:

И опять избавляемся от того, что нам не очень нравится – от дробей.

Видим, что для сокращения знаменателя с иксом, надо умножить дробь на (х – 2) . А единицы нам не помеха. Ну и умножаем. Всю левую часть и всю правую часть:

Опять скобки (х – 2) я не раскрываю. Работаю со скобкой в целом, как будто это одно число! Так надо делать всегда, иначе ничего не сократится.

С чувством глубокого удовлетворения сокращаем (х – 2) и получаем уравнение безо всяких дробей, в линеечку!

А вот теперь уже раскрываем скобки:

Приводим подобные, переносим всё в левую часть и получаем:

Классическое квадратное уравнение. Но минус впереди – нехорош. От него можно всегда избавиться, умножением или делением на -1. Но если присмотреться к примеру, можно заметить, что лучше всего это уравнение разделить на -2! Одним махом и минус исчезнет, и коэффициенты посимпатичнее станут! Делим на -2. В левой части – почленно, а в правой – просто ноль делим на -2, ноль и получим:

Решаем через дискриминант и проверяем по теореме Виета. Получаем х = 1 и х = 3 . Два корня.

Как видим, в первом случае уравнение после преобразования стало линейным, а здесь – квадратным. Бывает так, что после избавления от дробей, все иксы сокращаются. Остаётся что-нибудь, типа 5=5. Это означает, что икс может быть любым . Каким бы он не был, всё равно сократится. И получится чистая правда, 5=5. Но, после избавления от дробей, может получиться и совсем неправда, типа 2=7. А это означает, что решений нет ! При любом иксе получается неправда.

Осознали главный способ решения дробных уравнений ? Он прост и логичен. Мы меняем исходное выражение так, чтобы исчезло всё то, что нам не нравится. Или мешает. В данном случае это – дроби. Точно так же мы будем поступать и со всякими сложными примерами с логарифмами, синусами и прочими ужасами. Мы всегда будем от всего этого избавляться.

Однако менять исходное выражение в нужную нам сторону надо по правилам , да… Освоение которых и есть подготовка к ЕГЭ по математике. Вот и осваиваем.

Сейчас мы с вами научимся обходить одну из главных засад на ЕГЭ ! Но для начала посмотрим, попадаете вы в неё, или нет?

Разберём простой пример:

Дело уже знакомое, умножаем обе части на (х – 2) , получаем:

Напоминаю, со скобками (х – 2) работаем как с одним, цельным выражением!

Здесь я уже не писал единичку в знаменателях, несолидно… И скобки в знаменателях рисовать не стал, там кроме х – 2 ничего нет, можно и не рисовать. Сокращаем:

Раскрываем скобки, переносим всё влево, приводим подобные:

Решаем, проверяем, получаем два корня. х = 2 и х = 3 . Отлично.

Предположим в задании сказано записать корень, или их сумму, если корней больше одного. Что писать будем?

Если решите, что ответ 5, – вы попали в засаду . И задание вам не засчитают. Зря трудились… Правильный ответ 3.

В чём дело?! А вы попробуйте проверку сделать. Подставить значения неизвестного в исходный пример. И если при х = 3 у нас всё чудненько срастётся, получим 9 = 9, то при х = 2 получится деление на ноль! Чего делать нельзя категорически. Значит х = 2 решением не является, и в ответе никак не учитывается. Это так называемый посторонний или лишний корень. Мы его просто отбрасываем. Окончательный корень один. х = 3 .

Как так?! – слышу возмущённые возгласы. Нас учили, что уравнение можно умножать на выражение! Это тождественное преобразование!

Да, тождественное. При маленьком условии – выражение, на которое умножаем (делим) – отлично от нуля . А х – 2 при х = 2 равно нулю! Так что всё честно.

И что теперь делать?! Не умножать на выражение? Каждый раз проверку делать? Опять непонятно!

Спокойно! Без паники!

В этой тяжелой ситуации нас спасут три магических буквы. Я знаю, о чем вы подумали. Правильно! Это ОДЗ . Область Допустимых Значений.

Квадратное уравнение это уравнение которое выглядит как ax 2 + dx + c = 0 . В нем значение а,в и с любые числа, при этом а не равно нулю.

Все квадратные уравнения разделяются на несколько видов, а именно:

Уравнения в которых только один корень.
-Уравнения с двумя разными корнями.
-Уравнения в которых корней нет совсем.

Это и различает линейные уравнения в которых корень всегда единый, от квадратных. Для того что бы понять какое количество корней в выражении и нужен Дискриминант квадратного уравнения .

Допустим наше уравнение ax 2 + dx + c =0. Значит дискриминант квадратного уравнения -

D = b 2 - 4 ac

И это нужно запомнить навсегда. С помощью этого уравнения мы и определяем количество корней в квадратном уравнении. И делаем мы это следующим образом:

Когда D меньше нуля, в уравнении нет корней.
- Когда D равно нулю, имеется только один корень.
- Когда D больше нуля, соответственно, в уравнении два корня.
Запомните что дискриминант показывает сколько корней в уравнении, не меняя знаков.

Рассмотрим для наглядности:

Нужно выяснить какое количество корней в данном квадратном уравнении.

1) х 2 - 8х + 12 = 0
2)5х 2 + 3х + 7 = 0
3) х 2 -6х + 9 = 0

Вписываем значения в первое уравнение, находим дискриминант.
а = 1, b = -8, c = 12
D = (-8) 2 - 4 * 1 * 12 = 64 - 48 = 16
Дискриминант со знаком плюс, значит в данном равенстве два корня.

Делаем тоже самое со вторым уравнением
a = 1, b = 3, c = 7
D = 3 2 - 4 * 5 * 7 = 9 - 140 = - 131
Значение минусовое, значит корней в данном равенстве нет.

Следующее уравнение разложим по аналогии.
а = 1, b = -6, с = 9
D = (-6) 2 - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0
как следствие имеем один корень в уравнении.

Важно что в каждом уравнении мы выписывали коэффициенты. Конечно это не много длительный процесс, но это помогло нам не запутаться и предотвратило появление ошибок. Если очень часто решать подобные уравнения, то вычисления сможете производить мысленно и заранее знать сколько у уравнения корней.

Рассмотрим еще один пример:

1) х 2 - 2х - 3 = 0
2) 15 - 2х - х 2 = 0
3) х 2 + 12х + 36 = 0

Раскладываем первое
а = 1, b = -2, с = -3
D =(-2) 2 - 4 * 1 * (-3) = 16, что больше нуля, значит два корня, выведем их
х 1 = 2+?16/2 * 1 = 3, х 2 = 2-?16/2 * 1 = -1.

Раскладываем второе
а = -1, b = -2, с = 15
D = (-2) 2 - 4 * 4 * (-1) * 15 = 64, что больше нуля и так же имеет два корня. Выведем их:
х 1 = 2+?64/2 * (-1) = -5, х 2 = 2-?64/2 *(-1) = 3.

Раскладываем третье
а = 1, b = 12, с = 36
D = 12 2 - 4 * 1 * 36 =0, что равно нулю и имеет один корень
х = -12 + ?0/2 * 1 = -6.
Решать данные уравнения не сложно.

Если нам дано неполное квадратное уравнение. Такое как

1х 2 + 9х = 0
2х 2 - 16 = 0

Данные уравнения отличаются от тех что были выше, так как оно не полное, в нем нет третьего значения. Но не смотря на это оно проще чем полное квадратное уравнение и в нем дискриминант искать не нужно.

Что делать когда срочно нужна дипломная работа или реферат, а времени на его написание нет? Всё это и многое другое можно заказать на сайте Deeplom.by (http://deeplom.by/) и получить высший балл.

Например, для трехчлена \(3x^2+2x-7\), дискриминант будет равен \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). А для трехчлена \(x^2-5x+11\), он будет равен \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Дискриминант обозначается буквой \(D\) и часто используется при решении . Также по значению дискриминанта можно понять, как примерно выглядит график (см. ниже).

Дискриминант и корни уравнения

Значение дискриминанта показывает количество квадратного уравнения:
- если \(D\) положителен – уравнение будет иметь два корня;
- если \(D\) равен нулю – только один корень;
- если \(D\) отрицателен – корней нет.

Это не надо учить, к такому выводу несложно прийти, просто зная, что из дискриминанта (то есть, \(\sqrt{D}\) входит в формулу для вычисления корней уравнения: \(x_{1}=\)\(\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\) и \(x_{2}=\)\(\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\) . Давайте рассмотрим каждый случай подробнее.

Если дискриминант положителен

В этом случае корень из него – это некоторое положительное число, а значит \(x_{1}\) и \(x_{2}\) будут различны по значению, ведь в первой формуле \(\sqrt{D}\) прибавляется, а во второй – вычитается. И мы имеем два разных корня.

Пример : Найдите корни уравнения \(x^2+2x-3=0\)
Решение :

Ответ : \(x_{1}=1\); \(x_{2}=-3\)

Если дискриминант равен нулю

А сколько корней будет, если дискриминант равен нулю? Давайте рассуждать.

Формулы корней выглядят так: \(x_{1}=\)\(\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\) и \(x_{2}=\)\(\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\) . И если дискриминант – ноль, то и корень из него тоже ноль. Тогда получается:

\(x_{1}=\)\(\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\) \(=\)\(\frac{-b+\sqrt{0}}{2a}\) \(=\)\(\frac{-b+0}{2a}\) \(=\)\(\frac{-b}{2a}\)

\(x_{2}=\)\(\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\) \(=\)\(\frac{-b-\sqrt{0}}{2a}\) \(=\)\(\frac{-b-0}{2a}\) \(=\)\(\frac{-b}{2a}\)

То есть, значения корней уравнения будут совпадать, потому что прибавление или вычитание нуля ничего не меняет.

Пример : Найдите корни уравнения \(x^2-4x+4=0\)
Решение :

\(x^2-4x+4=0\)		Выписываем коэффициенты:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		Вычисляем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\)
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		Находим корни уравнения
\(x_{1}=\)\(\frac{-(-4)+\sqrt{0}}{2\cdot1}\) \(=\)\(\frac{4}{2}\) \(=2\) \(x_{2}=\)\(\frac{-(-4)-\sqrt{0}}{2\cdot1}\) \(=\)\(\frac{4}{2}\) \(=2\)		Получили два одинаковых корня, поэтому нет смысла писать их по отдельности – записываем как один.

Ответ : \(x=2\)